miércoles, agosto 31, 2011

Deltoide de Scherer


Karl Scherer es el autor del irreptil mostrado en la siguiente figura. Se compone de cinco deltoides. El deltoide es una figura geométrica de 4 lados, o cuadrilátero, que tiene 2 pares de lados del mismo tamaño. Estos lados iguales deben ser contiguos. En inglés se le llama kite, o cometa.

El deltoide y sus componentes tienen ángulos de 60, 90, 120 y 90 grados. Los cinco deltoides son congruentes, si bien dos de ellos son de mayor tamaño que los otros tres. La figura compuesta, las grandes y las pequeñas, están en la proporción 1, 1/3 y 1/raiz(3).

El descubridor de ésta figura no especifica las características de tapizado. Un deltoide tapiza el plano de forma periódica, puesto que todo cuadrilátero lo hace. El deltoide 60-90-120-90 en particular también tapiza con simetría hexagonal, y es uno de los tapizados semiregulares, llamado tapizado deltoidal trihexagonal. Sin embargo yo descubrí que, especificando unas sencillas reglas de conversión, la figura de Scherer puede ser la base para tapizar de forma aperiódica el plano.

 
Sucesivas aplicaciones de éstas reglas obtienen los siguientes tapizados.


 

 



 
En base a la matriz de conversión, se obtienen los eigenvalores 3 y -1. Usando el eigenvalor 3 obtenemos la familia de eigenvectores (1,1), (2,2)... Lo cual nos indica que la relación entre las figuras pequeñas y las grandes, en el tapizado del plano, es de equivalencia: hay tantas figuras pequeñas como grandes.

Referencias: