domingo, agosto 30, 2009

Tapizado trapezotriangular

Esta es una pequeña contribución propia al tema de los tapizados aperiódicos sobre el cual he venido posteando desde hace tiempo.

El tapizado trapezotriangular se forma, como su nombre lo sugiere, de un trapecio, con lados 1, 2, 2 y 2, y un triángulo con lados 1, 2 y 2. Obviamente juntos forman un triángulo. Pero este tipo de división de un triángulo es único, para poder obtener los lados requeridos.



Con el conocido proceso de "inflado" se obtienen dos figuras. La primera, el trapecio inflado, se compone de tres trapecios y tres triángulos. El triángulo inflado se compone de un trapecio y un triángulo. Otros muchos procesos de inflado son posibles.



Siguiendo un proceso recursivo de inflado, se pueden obtener figuras arbitrariamente grandes, hasta tapizar en forma infinita el plano.

El triángulo tiene ángulos internos 2B y 90-B, donde B=arcsen(1/4). El trapecio tiene ángulos de 90-B y 90+B. El valor aproximado de B es 14.4775°. Los valores aproximados para los ángulos son entonces 28.9550° y 75.5225° para el triángulo y 75.5225° y 104.48° para el trapecio.

Como el número arcsen(1/4) es irracional, hasta donde alcanzan mis conocimientos, entonces las orientaciones de estos dos polígonos son infinitas, tal como pasaba con el tapizado rehilete del que hablé hace poco.

Espero les guste.

viernes, agosto 14, 2009

Mariposas disecadas

... ¿sufrirán del infierno los verdugos? Pero ¿para qué sirve ese castigo si los niños han tenido también su infierno? Además, ¿para qué sirve esta armonía que lleva en sí un infierno? Yo quiero el perdón, el abrazo universal, la supresión del sufrimiento. Y si el sufrimiento de los niños sirve para completar la suma de los dolores necesarios para la adquisición de la verdad, afirmo desde ahora que esa verdad no vale lo que cuesta. No quiero que la madre perdone al verdugo, no tiene derecho a ello. Que ella le perdone su sufrimiento de madre, pero no lo que ha sufrido su hijo destrozado por los perros. Aunque su hijo perdonase, ella no tendría derecho a hacerlo. Si el derecho de perdonar no existe, ¿en qué se convierte la armonía? ¿Hay en el mundo algún ser que tenga ese derecho? Es por amor y por humanidad por lo que no quiero esa armonía. Prefiero guardar mis sufrimientos no rescatados y mi indignación persistente, !aunque estuviese equivocado! Además, se ha exagerado esa armonía; la entrada cuesta demasiado cara para nosotros. Prefiero devolver mi entrada. Como hombre honrado, estoy incluso obligado a devolverla lo antes posible, y eso es lo que hago. No rechazo el admitir a Dios, pero le devuelvo mi entrada muy respetuosamente.

De una conversación entre Ivan y Alioscha Karamazov.
Los hermanos Karamazov, Fiodor Dostoyevski

viernes, agosto 07, 2009

Tapizado aperiódico de Danzer




Ya casi dos décadas después de estar por última vez en la escuela, después de mi última clase de matemáticas, apenas les estoy tomando el gusto. Es decir, siempre se me facilitaron, pero ahora descubro emocionado como algunas ramas de esta ciencia exacta cobran un inusitado esplendor, al tiempo que ocultan profundos y emocionantes misterios.

Específicamente en lo que respecta al tapizado del plano, mi intención original era hacer algunos posts sobre el tema, y aunque tratado superficialmente, mostrar los que me parecieran interesantes o hermosos, pero nunca pensé que hubiera una variedad tan enorme, que existieran tantas investigaciones publicadas sobre el tema, que tantos matemáticos y de tanto renombre se dedicaran a ello, ni que hubiera sitios especialmente dedicados a esta rama. Me vi, se podría decir, atrapado, y ahora no se dónde o como detenerme.

Para colmo de mis males el ciclo escolar pasado impartí (o intenté impartir, al menos) la materia de trigonometría. Mientras yo enseñaba triángulos como profesión y me deleitaba con los tapizados por afición, se creó una sinergia que tal vez de otro modo no hubiera ocurrido, y como iluminado, caí en la cuenta de la profunda relación que hay entre las dos materias. Peor aún, pude sensibilizarme de cómo los triángulos, que al iletrado le pueden parecer todos iguales, y en su semejanza, igual de aburridos, apenas con unos mínimos cambios en sus ángulos o en sus lados pueden pertenecer no ya a familias distintas, sino a ciencias distintas. Véase por ejemplo mi post sobre el tapizado rehilete, en el que se observa como un triángulo rectángulo de apariencia inocente es en realidad único en su especie.

Muchos de los problemas geométricos que involucran polígonos, se pueden reducir a triángulos. Como ejemplo baste mencionar que el método ideal para calcular el área de una superficie irregular, consiste en dividirla en triángulos, y también para medir distancias geográficas, hacer mapas, y hasta para conocer la lejanía de las estrellas, se usan triángulos, lo que con justicia se llama triangulación.

Si se toma o construye un pequeño triángulo de papel, ya sea rectángulo, isósceles o escaleno, alargadito o ancho, con la forma que Ud. guste pero que sea triángulo, se puede comprobar una característica interesante y fundamental. Recórtense los tres ángulos de forma que se puedan poner juntos, en forma sucesiva, o sea juntando los trés vértices en un solo punto. Es grato ver como se obtiene una hermosa y perfecta línea horizontal. Los matemáticos dirían que la suma de los ángulos de un triángulo siempre es 180 grados, pero dicho así, pierde toda su gracia.

Mi última sorpresa es que con triángulos se puede tapizar el plano con simetría radial heptagonal (hepta significa 7). Raro, porque es bien sabido que los más comúnes son triangulares, cuadrados, o hexagonales, y solo con mucho trabajo se le pudo arrancar a la diosa matemáticas algunos pentagonales. Además Danzer, que es su descubridor, proporciona métodos para encontrar tapizados triangulares con cualquier n-simetría, con tal de que n sea impar.

Pero en esta rareza radica su belleza.



Para más información sobre el tapizado de Danzer, y otros tapizados similares, se pueden consultar estos vínculos:

http://www.mathpages.com/HOME/kmath539/kmath539.htm
http://tilings.math.uni-bielefeld.de/substitution_rules/cyclotomic_rhombs_7_fold
http://tilings.math.uni-bielefeld.de/known_matching_rules/without_decoration/danzers_7_fold
http://local.wasp.uwa.edu.au/~pbourke/texture_colour/nonperiodic/

jueves, agosto 06, 2009

Mariposas disecadas

— ¿Cree en Dios?
— No se qué cosa es creer en Dios. Qué significa la palabra Dios. ¿Usted la puede definir?
— No
— ¿Porqué me pregunta si creo en algo que nadie puede definir?

Marcos Moshinsky, de una entrevista publicada en Crónica