sábado, abril 29, 2006

Tapizado no periódico del plano II

En 1974, un renombrado matemático inglés, Roger Penrose, fue capaz de encontrar un tipo de tapizado no periódico del plano, no del tipo cuadrado, basado tan solo en 2 piezas diferentes. Las formas de estas 2 piezas pueden variar y presentar las mismas características, pero el par más interesante es el formado por los "kites" y "darts", algo así como cometas y dardos.

En estas figuras está presente el número áureo o proporción divina como también se le conoce. Cada una de las dos piezas, los cometas y los dardos, tienen dos lados cortos y dos lados largos. La relación entre estos dos lados esta dada por 1.6180..., que es el número áureo. Esto significa que si el lado corto mide un metro, el lado largo mide 1.618 metros. Si el lado corto mide 1 centímetro, el lado largo mide 1.618 centímetros, etcétera. Este número fue descubierto por los antiguos pitagóricos y tiene que ver con el pentagrama geométrico, pero esa es otra historia que merece otro post aparte.

Para poder crear estas extraordinarias figuras no se permite que se junte un cometa con un dardo para formar un rombo, puesto que los rombos por supuesto llenan el plano de forma periódicamente aburrida.

Otra variante de las 2 figuras de Penrose es la formada por dos rombos de forma diferente, uno mas alargado que el otro. En esta variante todos los 4 lados de ambos rombos son iguales.

El rombo más afilado tiene ángulos de 36 y 144 grados, y el más gordito de 72 y 108 grados. También pueden ser unidos con un poco de ingenio para formar figuras no periódicas de tamaño indefinido. Véase por ejemplo la imágen de abajo, en la cual un gran número de piezas han sido usadas, y sin embargo, podemos observar que no hay 2 regiones exactamente iguales.

También es interesante observar el atractivo visual que se puede lograr con este tipo de tapizados. Creo que es un terreno poco explorado todavía el de combinar colores y formas para obtener imágenes que si bien están basadas en el mismo patrón, son estéticamente muy diferentes. Sin embargo, ya se ha hecho algo al respecto, véase esta imagen en la que los dardos y cometas fueron alterados para formar 2 razas diferentes de curiosas aves, que nos remiten sin duda al trabajo de Escher.


Desgraciadamente el afamado artista alemán murió antes que Penrose publicara su trabajo (en 1972).

¿Existen pares de mosaicos que forcen la no-periodicidad, y que no estén basados en el número dorado? ¿Existe un solo mosaico que tapice el plano solo en forma no-periódica? Hasta el momento nadie sabe la respuesta.

Para este post me basé en el libro "The Colossal Book of Mathematics" de Martin Gardner, y en la internet.

jueves, abril 20, 2006

Tapizado no periódico del plano I

Vuelvo a retomar el tema del tapizado del plano que ya había tratado en algunos posts anteriores, por ejemplo sobre cuadriculando el cuadrado, o el tapizado pentagonal, o sobre los grabados de Escher. Ahora me voy a referir al tapizado no periódico.

Un tapizado no periódico es un tapizado del plano formado por mosaicos que solo se pueden unir de forma no periódica o no repetitiva.

Hay muchos casos de este tipo de tapizados no periódicos, pero construidos con mosaicos que también pueden tapizar el plano de forma periódica. Tómese por ejemplo las fichas de dominó, las cuales pueden ser acomodadas fácilmente de forma que tapicen una superficie sin dejar huecos y evitando que haya secciones que se repitan, poniendo algunas en forma vertical y otras en forma horizontal.

Sin embargo estas mismas fichas de dominó pueden ser acomodadas formando un aburrido y homogéneo tapizado periódico: simplemente se colocan en forma vertical en hileras, por ejemplo.

En 1964 Robert Berger, de la Universidad de Harvard, demostró por primera vez en la historia de las matemáticas que se podía crear un tapizado no periódico. Utilizó más de 20,000 piezas distintas (lo cual, dicho sea de paso, es una cantidad excesiva de piezas para construir un tapizado de forma práctica) Más tarde encontró un conjunto mucho menor, de 104 piezas, y Donald Knuth fue capaz de reducir el número a 92.

Todavía eran demasiados. En 1971 Raphael Robinson encontró el primer conjunto compacto de mosaicos que podían pavimentar el plano en forma aperiódica. Está compuesto por 6 piezas diferentes, que en las imágenes se representan con diferentes colores solo para distinguirlas fácilmente.



Estas seis piezas pueden ser empleadas para construir mosaicos del tamaño que se quiera, de hecho de tamaño indefinido, sin jamás encontrar una sola sección que se repita exactamente.

En 1977 Robert Ammann, un extraño y un poco oscuro matemático aficionado, encontró algunos otros conjuntos compactos que tapizaban aperiódicamente, pero es tan oscuro que nisiquiera pude encontar en internet un ejemplo sobre su trabajo.

No se sabe si los mosaicos de tipo cuadrado puedan ser reducidos a menos de seis, pero hay fuertes bases para creer que seis es el mínimo.

jueves, abril 13, 2006

Artista: Debussy

Para pocas personas podría tener algo en común la canción de mi post anterior, de Café Tacvba, con la de este, el preludio no. 9 del primer libro de Claude Debussy. No hay mucha semejanza musical, ni en la forma, ni por la melodía o la armonía. El parecido es bastante subjetivo así que para mi es bastante difícil explicarlo, tan difícil con pocas palabras como por muchas, así que vencido por esta dificultad me quedo con una sola palabra: latino.

Esta sola palabra tiene para mi tantas connotaciones que haría falta otro blog y otra vida para extenderme sobre el asunto, y de cualquier manera no estoy seguro de que tuviera éxito en hacerme entender. Para quien me pudiera comprender, además, estas explicaciones estarían de más porque ya lo hubiera comprendido mucho antes, después de asistir una tarde soleada a una corrida de toros o de haber experimentado en carne propia la sonoridad de la orquesta de Pérez Prado o de sentir como ceden bajo sus dedos las teclas de un piano mientras emerge como un sutil terremoto "La Paloma" de Yradier, o...

Además, pobre, pobre de ella y pobre de mi, es un privilegio tan exclusivo. Nadie se había fijado antes en el preludio 9 del primer libro, "La serénadé interrompue", la serenata interrumpida, mi favorita, mi querida, tierna, oscura y olvidada serenata interrumpida. Quizá le llegue a gustar a alguien más; quien sabe, a lo mejor hasta se convierte en un meme.


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martes, abril 11, 2006

Reflexiones de Armando Hoyos

¿Qué es primero, el minuto o el segundo?

¿Cuando le quitas la piel a una zebra queda la carne deshebrada?

Cuando las elefantas no quieren más hijos ¿se ligan las trompas?

Cuando un vuelo tiene retraso ¿es porque no le ha bajado el tren de aterrizaje?

Si hay un incendio en el cine ¿es porque hubo cortos?

Cuando una película está doblada ¿sólo ves la mitad?

¿Blancanieves se derrite por el príncipe?

El amor en la familia ¿se da en el padre o se da en la madre?

Si a los hermanos les gustan las nueces ¿a las hermanas, las pasas?

Si quieres tomarte una foto de cuerpo entero ¿te la sacas?

¿Porqué cuando un jugador se barre dicen que entró sucio?

Cuando un jugador entra con una plancha ¿al contrario se le arruga?

Cuando un jugador se va por la banda ¿el portero se va por los mariachis?

¿Alguna vez fue Carlos Quinto? ¿o a qué edad le descubrieron el relleno cajetoso?

¿A cuántas caídas es la lucha de clases?

¿El Perro Aguayo gateaba de chiquito?

Si las brujas vuelan en escobas ¿porqué no se barren cuando aterrizan?

Si las brujas te hacen una limpia con huevos ¿los brujos son más delicados?

¿El pez gato le hace los mandados a todos?

¿Se puede extirpar el tumor a lo desconocido?

Si te amputan las piernas ¿es para traerte cortito?

¿De qué religión es el Papanicolau?

Si detrás de un gran hombre hay una gran mujer ¿porqué no se voltean y platican?

Si el hombre viene del chango ¿la mujer viene de la cesárea?

¿Las pitonisas entienden de oráculos?

¿Si la prieta linda es prima mía su mamá es mi tía?

En un examen de música ¿te reprueban si sacas el acordeón?

¿Una poetisa es una pelea entre poetas?

Si el carpintero se la pasa clavando ¿a qué hora trabaja?

Cuando hierve el camarón ¿pasa de blanco a rojo?

viernes, abril 07, 2006

Revés

Como una forma de protesta a la nueva Ley de Radio y Televisión que entre otros defectos pone en riesgo la futura supervivencia de la radio y la televisión educativa, social o regional, el Instituto Mexicano de la Radio (IMER), a través de sus 17 estaciones, transmitió durante todo el día 29 de marzo una misma canción. Se trata de "Revés", del álbum "Revés/Yo soy" del grupo mexicano Café Tacvba. Como apoyo a ésta campaña de protesta reproduzco aqui tal canción. Este grupo a través de su arte siempre ha rendido homenaje a la diversidad cultural de México asi que creo que la selección no pudo ser mejor.


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