miércoles, febrero 08, 2006

La maravillosidad de los números maravillosos (e inmaravillosos)

Siguiendo en la atmósfera numérica de cierto post anterior mio, ahora me voy a dedicar a hacer algunas reflexiones sobre una secuencia de números y las reglas sencillas que los generan, y cómo esto desemboca en un asunto nada sencillo.

Tómese un número entero positivo cualquiera y aplíquense las dos siguientes sencillísimas reglas aritméticas, que cualquier infante de primaria podría llevar a cabo:
  1. Si el número es par, divídase entre dos.
  2. Si el número es impar, multiplíquese por tres y añádase uno.

Las reglas deberán ser aplicadas iteradamente hasta obtener un 1, o bien continuar indefinidamente.

Si comenzaramos, por ejemplo, con 17, continuaríamos así:

17 es impar, entonces 17*3+1 es 52,
52 es par, entonces 52/2 es 26,
26 es par, entonces 26/2 es 13,
13 es impar, entonces 13*3+1 es 40,
40 es par, entonces 40/2 es 20,
20 es par, entonces 20/2 es 10,
10 es par, entonces 10/2 es 5,
5 es impar, entonces 5*3+1 es 16,
16 es par, entonces 16/2 es 8,
8 es par, entonces 8/2 es 4,
4 es par, entonces 4/2 es 2,
2 es par, entonces 2/2 es 1, y finalizamos.

Es interesante observar como a partir de 17 y aplicando unas sencillas fórmulas la secuencia fue hacia arriba y abajo una y otra vez, alcanzando como máximo el número 52 y luego descendiendo hasta 1. Tome el lector el número 27 para ver que pasa al aplicar las reglas, eso si, le recomiendo que se haga de una hoja de papel bastante grande. No hay ninguna garantía que partiendo de cierto número se obtenga una secuencia corta o larga, o cuántos pasos se van a necesitar para llegar a la meta, el 1. De hecho al dia de hoy los matemáticos no han podido demostrar que para cualquier número entero positivo n, y aplicando las reglas, se obtenga siempre el número 1 después de un número finito de pasos. Incluso el matemático Paul Erdös dijo de estos números que "las matemáticas todavía no están listas para estos problemas", y eso en pleno siglo XX, dicho por uno de los grandes matemáticos de la historia.

Esta secuencia ha sido llamada la "secuencia granizo", por los movimientos aleatorios hacia arriba y hacia abajo que muestra, parecidos a los de un granizo en la atmósfera; también conocida como secuencia Collatz, por el matemático que la estudió, o números maravillosos, como los llamó Douglas Hofstadter. Él llamó números maravillosos a los que terminaban la secuencia en 1, e inmaravillosos a los que generaban una secuencia que seguía y seguía sin terminar nunca. Hasta el día de hoy se han probado mediante computadora todos los enteros hasta 27,021,597,764,222,976, por lo tanto existe la conjetura de que todos los números son maravillosos, o sea, que todos finalizan en 1. Pero esto solo a nivel de conjetura, o sea, no se ha demostrado matemáticamente, y, de atenernos al consejo de Erdös, tardará mucho en ser demostrado.

18 comentarios:

Caminante dijo...

Interesante.

No habia oido sobre este tipo de scuencias.

marvision dijo...

Como entiendes de numeros, chiquillo, tu sigue y luego vas a un programa de TV, ánimo.Te invito a mi post, recien escrito
Marvision

control_zape dijo...

Muy buena secuencia. Supongo que la del premio de los $500 pesos es parecida (¿ya salió ganador?)

Una pregunta. A menudo en más de una discusión escéptica me he topado con la afirmación que dice que no es posible probar negativos (como esto o aquello no existe). No obstante me parece que en matemáticas eso se hace muy a menudo. Por ejemplo con la demostración del teorema de Fermat. ¿Es cierto eso? ¿Es posible probar afirmaciones negativas?

Vicadin dijo...

¡impresionante!
pero cómo se podría comprobar que un número no es maravilloso, eso nunca lo podríamos averiguar

Ernesto dijo...

caminante, marvision: gracias
control_zape: no ha salido ganador
vicadin: un problema dificil sin duda

Ernesto dijo...

control zape: sobre probar negativos, por supuesto que se puede, de hecho una de las herramientas más usadas en matemáticas es la "reducción al absurdo", que consiste en tratar de demostrar el negativo de un teorema, y al llegar a la conclusión de que es falso, entonces se demuestra que el teorema es verdadero... y del teorema de Fermat, hace poco se demostró que es verdadero, pero eso tiene madera más que suficiente para otro post

rfr dijo...

excelente post, más bien maravilloso, aprender más de números y series, has puesto alguna vez los trazos para llegar a la proporción aurea en tu blog? has hablado del número dorado?
saludos!

Cangrejoinmortal dijo...

Curiosamente ando resolviendo un ejercicio de programación que tiene que ver con esa susceción, aquí les dejo el link.

http://acm.uva.es/p/v1/100.html

goya dijo...

Siempre me han parecido muy interesante lo numeros, pero son poco entendibles par mí. Me alegro que tu te envuelvas en su inmesidad, así yo los trato de entender a través de tí.

incondicional dijo...

Holas,gracias por visitarme.
Opsssssss, las mates , nunca nos hemos llevado bien.
Saludos.

Minina dijo...

:( No me puedo alejar así de fácil.

Cangrejoinmortal dijo...

hablando de la reducción al absurdo.

No todas las escuelas de pensamiento matemático estan deacuerdo con la validez de la reducción al absurdo como método de demostración, el asunto es que da por sentado la ley del tercero excluido, es decir que (p∨¬p) es siempre cierto para cualquier p, y eso no es válido para lógicas con mas estados que dos. NO estoy negando la importancia de una herramienta tan poderosa (y tan util para salir airoso en los exámenes de álgebra, cálculo y geometría), solo estoy estoy exponiendo el porque lagunos matemáticos encuentran estas demostraciones inferiores a las demostraciones por construccion.

que se la pasen chido.

Juanma dijo...

Siempre me han gustado esas "anecdotas" que pasan con los numeros. Todo surgio a raiz de una profesora que tuve y que ahora desgraciadamente nos ha dejado.

Ernesto a ti te hubiera encantado conocerla porque le gustaban los numeros como creo que a ti.

Por si quieres leer su blog. Servidora blogspot.

Saludos y gracias por esto de los numeros maravillos, hoy de repente me han entrado ganas de leer sobre ellos porque estaba buscando problemillas "graciosos".

MUCHAS GRACIAS

Ernesto dijo...

Gracias a todos por sus comentarios. Veo con agrado que este post despues de algunos meses de ser escrito sigue siendo leido.

nadapez dijo...

Muy interesante el post, justamente estoy leyendo el libro de Hofstadter, "Un eterno y gracil bucle" en la parte que habla de los numeros "maravillosos".

Me interesó el tema, y en particular la secuencia {P(N)}, donde P(N) es el numero de pasos necesarios para llegar a 1 a partir de N. (Para aclarar, la secuencia sería P(1), P(2), P(3), etc...). Hice un programa en fortran para calcular la secuencia y resultó bastante interesante. No parece para nada aleatoria, pero si bastante caotica. Es curioso que frecuentemente un mismo numero se repite en forma consecutiva varias veces.

a modo de ejemplo pongo una seccion de la secuencia. El formato es N : P(N)

15123 : 84
15124 : 40
15125 : 40
15126 : 84
15127 : 84
15128 : 40
15129 : 208
15130 : 40
15131 : 221
15132 : 133
15133 : 133
15134 : 133
15135 : 102
15136 : 40
15137 : 45
15138 : 133
15139 : 133
15140 : 133
15141 : 133
15142 : 133
15143 : 146

ven como se repiten consecutivamente los numeros ?

Me interesó entonces, estudiar el maximo numero de pasos que se alcanzan partiendo desde los primeros N numeros. Por ejemplo, entre los primeros 27 numeros,todos llegan al 1 despues de 111 pasos o menos. En particular, el 27 es el primero que llega a 111 pasos, y ningun numero menor a el lo iguala o lo supera en pasos. Digamos que alcanza un "maximo".

Entonces hice un segundo programa que vaya mostrando los numeros que alcanzan un "maximo". Para ilustrar muestro a continuación algunos de los "maximos" que encontré. El formato es el mismo que el anterior: N : P(N), pero en este caso solo se muestran los terminos de la secuencia que alcanzan un "maximo", es decir, si N : P(N) aparece en la entonces todos los numeros menores a N alcanzan el 1 con menos de P pasos. (es ma facil entenderlo que decirlo)

2: 1
3: 7
6: 8
7: 16
9: 19
18: 20
25: 23
27: 111 !
54: 112
73: 115
97: 118
129: 121
...
35655 : 323
52527 : 339
77031 : 350
106239 : 353
...
63728127 : 949


Como se ve, cuesta alcanzar los "maximos", recien despues unos 63 millones se alcanza el 949. Esto nos dice que cualquier numero entre el 1 y el 63728127, es "maravilloso" pero ademas alcanza el 1 con no más de 949 pasos. Como mi pc es un dinosaurio no pude encontrar el proximo maximo.

bueno, por ultimo les dejo otra seccion de la secuencia N : P(N)

97512410123456691 : 235
97512410123456692 : 328
97512410123456693 : 328
97512410123456694 : 328
97512410123456695 : 328
97512410123456696 : 328
97512410123456697 : 328
97512410123456698 : 328
97512410123456699 : 328
97512410123456700 : 328
97512410123456701 : 328
97512410123456702 : 328
97512410123456703 : 328
97512410123456704 : 553
97512410123456705 : 235
97512410123456706 : 235
97512410123456707 : 235
97512410123456708 : 328
97512410123456709 : 328
97512410123456710 : 328
97512410123456711 : 235
97512410123456712 : 328
97512410123456713 : 328
97512410123456714 : 328
97512410123456715 : 235
97512410123456716 : 328
97512410123456717 : 328
97512410123456718 : 235
97512410123456719 : 235
97512410123456720 : 553

Ernesto dijo...

nadapez: muchísimas gracias por tu aportación, muy interesante y sustanciosa, espero comentar sobre ella ampliamente en estos dias.

Ernesto dijo...

Nadapez: Precisamente el libro de Hofstadter fue un evento fundamental en mi vida y mi evolución a este tipo de cosas tan bonitas y atractivas: las matemáticas, la computación. Admiro tu dedicación y tu talento para encontrar P(N) para N tan grandes. Tal vez también te interese otro post que publiqué, sobre otro tipo de números: http://robotkarel.blogspot.mx/2006/05/un-misterio-resuelto_04.html Me interesa aún mas saber de tus capacidades de programador y que lenguajes manejas. Nunca está de mas conocer a alguien con estas habilidades.

nadapez dijo...

Ernesto: gracias por tu comentario. si te te interesa te puedo mandar los programas. Con respecto a tu pregunta, manejo c, c++ y fortran lo empece a usar ahora porque lo usamos en "calculo numerico" en la facu. (estudio lic. en fisica). Tambien utilizo mucho Wolfram Mathematica. Me interesa la composicion y estoy experimentando con texturas sonoras a partir de distribuciones gaussianas de sonidos simples. Con el Wolfram genero el "score" para csound, que genera los sonidos. Pero el Wolfram no me resulta muy comodo para esto, y el python se lleva mejor con el csound, pues hay librerias para llamarse uno a otro, asi que estoy incursionando en ese lenguaje y me gusta mucho.